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Appunti Coordinate Baricentriche

Trovare le coordinate baricentriche serve a calcolare i punti interni a un triangolo per rasterizzarlo.

Associamo a un triangolo a vertici p1 p2 p3 in coordinate cartesiane possiamo associare un sistema di riferimento in coordinate baricentriche u v O’.

Come facciamo ora a trovare le coordinate baricentriche di un punto p in questo nuovo sistema di riferimento baricentrico u v O’?

p = (1 – β – γ)p1 + βp2 + γp3

da cui α + β + γ = 1

α + β + γ : sono le coordinate baricentriche di p in un sistema di coordinate baricentriche u v O’

Questo è interessante per pensare al nuovo piano dividendolo in regioni e quindi individuare tutti i punti “interni” al triangolo.

Infatti, tutti i punti al suo interno avranno coordinate α β γ strettamente comprese tra 0 e 1.

In più, sui lati troveremo sempre punti con almeno una coordinata precisamente 0.

Problema

Date le coordinate x y cartesiane dobbiamo trovare le coordinate baricentriche di tutti i punti, quindi sembra apparentemente molto pesante eseguire un calcolo per ogni punto.

Soluzione

In realtà il calcolo è un sistema lineare a tre equazioni (3×3), semplice da calcolare e soprattutto parallelizzabile per ogni singolo pixel: perfetto per le GPU.

Nota: interessante notare che questa stessa idea può essere usata anche per fare interpolazione, ovvero costruire una curva, un piano o in generale un disegno che passi per i punti dati.

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